Introducción
Desde los orígenes de la historia de la Matemática, la resolución de problemas ha tenido un rol protagónico. A modo de ejemplo, el nacimiento mismo de la geometría, según Herodoto (s. V a.C.), se asocia con el problema de querer trazar los límites de las tierras de cultivo luego de las inundaciones del valle del río Nilo.
Se reconocen, a lo largo de la historia de la Matemática, varios autores (Pappus de Alejandría, René Descartes, Leibniz, Bolzano, entre otros), que han trabajado con diversos aspectos implicados a la hora de resolver problemas matemáticos.
Reproducción(arriba) de un fragmento del Papiro de Moscú que presenta el problema del volumen de un tronco de pirámide cuadrada, junto con su transcripción al jeroglífico (abajo).
Ilustración recuperada de Boyer, C. B. (1987). Historia de la Matemática. Alianza Editorial, p. 30.
Tradicionalmente, este arte de resolver problemas era conocido con el término heurística ó heurístico y a las operaciones mentales implicadas en el proceso se les denominó como estrategias heurísticas. En las siguientes secciones se presentará y profundizará acerca de la evolución de este concepto, basándose en distintos autores de referencia como Polya, Schoenfeld y De Guzmán.
En la actualidad, el arte de resolver problemas sigue vigente y se resignifica en los planes y programas de nuestro país; estableciéndose dentro de las competencias específicas del espacio científico - matemático.
Artículos recomendados:
Blanco, José Lorenzo (1997): La resolución de problemas. Una revisión teórica. Revista SUMA. Vol 21 p.11-20. La resolución de problemas. Una revisión teórica
Halmos, P. R. (1980). The heart of mathematics. The American Mathematical Monthly, 87(7), 519-524. https://www.jstor.org/stable/2321415
Boyer, C. B. (1987). Historia de la Matemática. Alianza Editorial.
El Método de Polya
¿Qué es un problema?
A lo largo de la historia de la ciencia hay varios autores que publicaron al respecto, en este curso adoptaremos la definición de Polya:
¿Cómo se resuelve un problema?
El Método de Polya
En 1945, el educador y Doctor en Matemática George Polya, publica su trabajo “How to solve it”, una guía docente en el que se presentan recomendaciones para ayudar a los estudiantes a resolver problemas matemáticos. En él se describe su método heurístico para resolver problemas, el cual sistematizó en cuatro pasos, o fases de trabajo:
- Entender el problema
- Configurar un plan
- Ejecutar el plan
- Mirar hacia atrás
 | Consecuencias del contexto o del momento histórico condicionaron la difusión del modelo heurístico de Polya, sin embargo para muchos investigadores posteriores a él, ha sido un autor de referencia en este tema. Así es el caso del matemático Allan Schoenfeld, quien en 1985 retoma los trabajos de Polya y plantea que para la aplicación del Método hay que tener en cuenta otros recursos además de los heurísticos, señalados por Polya (1945). |
Lectura sugerida:
Reseña del libro de Polya: Cen, M & de Jesús, I (2015)
Reseña de la obra de George Polya (1965). Cómo plantear y resolver problemas How To Solve It?. Enlace
Revista Entreciencias: diálogos en la Sociedad del Conocimiento. Vol. 3, núm. 8, pp. 419-420 Universidad Nacional Autónoma de México. Recuperdo de: https://www.redalyc.org/pdf/4576/457644946012.pdf
Vinculación con el pensamiento computacional
En el cuadro que se encuentra a continuación se realiza un paralelismo entre el Método de Polya y los procesos involucrados en el pensamiento computacional para resolver problemas.
Fuente: Curi, M.E., Noguera, P., Vidal, L. & Villalba, S. (2022): PC+Mat: Numeración con Pensamiento Computacional. Ceibal. p.13
Allan Schoenfeld
Como segundo referente que abordaremos en este curso, presentamos al matemático norteamericano Allan Schoenfeld, quien en 1985 publica su obra “Mathematical Problem Solving”. Allí relata su experiencia con estudiantes y profesores en la resolución de problemas. El autor concluye que para resolver problemas hay que tener en cuenta ciertas dimensiones más allá de las puras heurísticas como: los conocimientos previos (recursos) y el control del estudiante, así como las creencias que se tenga sobre el aprendizaje matemático.
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Recurso de creación del Departamento de Matemática, inspirado en Barrantes, H. (2006)
En suma, el aporte de Schoenfeld al Método de Polya es contemplar estas dimensiones, pues los conocimientos previos, los heurísticos, el control y el sistema de creencias del estudiante condicionarán el proceso de resolución.
Artículos sugerido:
Barrantes, H. (2006). Resolución de Problemas. El Trabajo de Allan Schoenfeld. Cuadernos de investigación y formación en investigación matemática, vol. 1 n.1.
Recuperado en: https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/download/6971/6657
Santos, L. M., (1992) Resolución de Problemas. El trabajo de Allan Schoenfeld: Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas. Revista educación matemática, vol. 4, n. 2, pág 16 - 24.
Recuperado en: http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/vol4/vol4-2/vol4-2-2.pdf
Miguel de Guzmán
Una década más tarde, en la misma línea que Polya y Schoenfeld, el matemático español Miguel De Guzmán (1995), presenta su obra “Para pensar mejor”, en donde manifiesta que la actitud ideal para afrontar un problema exige (entre otras cosas) ser curioso, tener ganas de aprender, estar tranquilos y confiados. Entre los aportes de este autor, se destaca su contribución a los hispanohablantes, interpretando, reflexionando y enriqueciendo el Método de Polya. Miguel De Guzmán reconoce que existen limitaciones tanto personales como sociales que interfieren en el proceso de resolución de probemas a las que denomina bloqueos (Blanco, J. L, 1997). |
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Los entornos en los que se ha desarrollado cada estudiante condicionarán su predisposición a la hora de resolver un problema. Si crece en un ambiente que cree que la matemática es para unos pocos, es probable que llegue a pensar que él “no puede” o que “no es bueno para ello”. Por otra parte, si se desarrolla en un entorno en el que se promueve el juego como forma de aprendizaje, en el que se habilita el error y se aprende de él, será un espacio oportuno para incentivar en el niño las ganas de resolver problemas.
Los posibles bloqueos presentes cuando resolvemos un problema se presentan en la tabla que aparece a continuación:
Fuente: de creación del Departamento de Matemática inspirado en Blanco, J.L (1997)
Concepciones docentes sobre la resolución de problemas
A nivel nacional e inspirado en los aportes de Kilpatrick (1987) referido al rol de la resolución de problemas para la enseñanza de la matemática, el investigador uruguayo Bentancor Biagas (2017) elabora un trabajo relativo a las concepciones docentes que aporta evidencia, respecto al potencial que tiene esta metodología activa.
¿Para qué sirve un problema matemático?
Organizamos la información presentada por el investigador nacional, en la tabla que aparece a continuación:
Fuente: de creación del Departamento de Matemática inspirado en Bentancor Biagas (2017)
Según la autora nacional Damisa, C (2019) hacer matemática implica no solo la praxis sino también incluir el análisis y la reflexión sobre los asuntos matemáticos que aparecen en el aula. Siguiendo con la propuesta de la autora, hacer matemática es explorar, anticipar, conjeturar, es leer las diversas representaciones que se ofrecen, es escribir, es describir y explicar (dando razones matemáticas), probar o validar.
Disponible en: https://biblioteca.cfe.edu.uy/iinn/opac_css/index.php?lvl=notice_display&id=15521
Procuramos como docentes contribuir, en la formación de un joven de personalidad competente, que pueda afrontar las dificultades que se presentan en un mundo de futuro incierto, volátil y ambiguo.
Lecturas sugeridas:
Bentancor Biagas, J. G., (2017) La matematización: Una mirada a las prácticas de enseñanza y evaluación de los docentes de Ciclo Básico de una zona metropolitana de Montevideo (Tesis) Universidad Ort Uruguay, Instituto de Educación. https://rad.ort.edu.uy/items/2a708182-e3ec-4716-8943-047b151735fb
PROGRAMACIÓN Y MATEMÁTICA
Introducción
El vínculo entre la educación matemática y los entornos de programación no es reciente. Papert (1980) desarrolló su lenguaje de programación Logo, principalmente con el fin de potenciar la enseñanza de la matemática en los estudiantes de temprana edad. Una de las motivaciones fundamentales del autor era la constatación de que a través de la programación los niños no solo aprendían matemática, sino lógica, resolución de problemas y además se podían crear sus propios agentes.
Este enfoque educativo basado en el diseño de herramientas de programación tuvo su auge hasta mediados de la década de 1990. Luego de este impulso inicial cobraron mayor relevancia otro tipo de actividades computacionales como los juegos educativos, las actividades multimedia o interacciones basadas en la web.
No obstante, el interés educativo en tareas de programación se comenzó a incrementar en la década de 2010 a través de nuevos entornos de programación, como por ejemplo los entornos basados en bloques. Este aumento en el interés por la programación en las escuelas posibilitó que el conjunto de herramientas para explorar ideas y prácticas computacionales se multiplicara (Yu & Roque, 2018).
En este curso utilizaremos Scratch por su propuesta de programación en bloques, que proporciona un entorno acesible y visualmente atractivo para el trabajo en programación desde edades bien tempranas. Esta herramienta, dado su singular lenguaje, habilita a la construcción de los aprendizajes y a la elaboración de proyectos colaborativos, desarrollando el pensamiento computacional y promoviendo la resolución de problemas.
Se trabajará en este módulo con diferentes secuencias de actividades donde se abordan conceptos matemáticos aplicando la programación en Scratch.
Entorno de trabajo
Scratch es un entorno de programación creado en el Massachusetts Institute of Technology (MIT) como resultado de la investigación llevada a cabo en el Lifelong Kindergarten Group (https://www.media.mit.edu/groups/lifelong-kindergarten/publications/)
Su lema es: “IMAGINA – PROGRAMA - COMPARTE”
Scratch permite desarrollar las siguientes competencias:
- Desarrollo del pensamiento lógico y algorítmico.
- Solución de problemas de manera metódica y ordenada.
- Capacidad de poner en duda las ideas de uno mismo.
- Posibilita la obtención de resultados complejos a partir de ideas simples.
- Fomenta el aprendizaje colaborativo a través del intercambio de conocimiento.
Los usuarios:
- Trabajan a su ritmo en función de sus propias competencias.
- Incorporan conceptos matemáticos como coordenadas, variables y algoritmos.
- Utilizan distintos medios de comunicación: sonido, imagen, texto, gráfico.
En el siguiente video se realiza una recorrida por el entorno de programación de Scratch:
Ingresa a la página de Scratch 3.0 para recorrer el entorno de programación. (presiona la tecla Ctrl antes de dar clic en el enlace para abrir en una nueva pestaña) https://scratch.mit.edu/
Para poder guardar las programaciones realizadas, compartirlas y reinventar proyectos realizados por otros usuarios, debes crearte un usuario en Scratch 3.0 (si aún no lo tienes).
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